บทนิยามจำนวนจริง

 

-​โล​ขจ​ํา​​จริ​ ​-

 

 

าล​ครั้หึ่​าาแล้​..​ ​ประาณ​ประาณ​ ​428​ ​–​ ​384​ ​ปี่​คริสต์ศัราช

 

ี​ศาสตราจาร์​้า​คณิตศาสตร์​ท่า​หึ่​า​่า​ ​ุคลิ​ ​ไ้​ค้พ​ ​'​โล​จำจริ​'

 

โล​จำจริ​ั้​ ​าศั​ู่​ใ​า​แล​็ค​ซี่​จำเชิซ้​ ​ซึ่​จะ​ี​โครสร้า​ั​ต่ไปี้

 

ใ​าแล็ซี่​จำเชิซ้​ ​ประไป้​ ​โล​จำจริ​ ​และ​โล​ตำ​​จิตภาพ

 

ใที่ี้​เรา​จะ​า​ล่า​ถึ​'​โล​จำจริ​'​ ​โล​จำจริ​ ​ประไป้​ ​2​ประเทศ​ ​คื

 

ประเทศ​จำตรระ​ ​และ​ประเทศ​จำตรระ​ ​ประเทศ​ตรร​ะ​ประไป้​ ​2​เื​คื

 

เื​จำ​ไ่​เต็​ ​ั​เื​จำเต็​ ​ใ​เื​จำเต็​ั้​ี​หู่้า​่​ๆ​ี​ ​3​หู่้า

 

ไ้แ่​หู่้า​จำเต็​ล​ ​หู่้า​จำเต็​(​จำั​)​ ​และ​หู่้า​จำเต็​ศู์​...

 

 

 

 

 

ุคลิ

 

 

 

 

และ​ใ​โล​จำจริ​จา​จะ​ประไป้​จำตรระ​ ​ั​จำตรระ​แล้​ ​ั​ีสัติ​ี​าา​้

 

เรา​จะ​าทำ​คารู้​จั​ั​สัติ​ข​จำจริ​ ​ใ​หัข้​ต่ไปี้

 

 

สัติ​จำจริ​ ​ ​ ​ ​ ​•​ ​สัติ​าร​เท่าั​ข​จำจริ

สัติ​จำจริ

 

•​ ​สัติ​าร​เท่าั​ข​จำจริ

ำห​ ​a,​ ​b,​ ​c​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ำห​ ​a,​ ​b,​ ​c​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

1.​ ​สัติ​าร​สะท้​ ​a​=​ ​a

1.​ ​สัติ​าร​สะท้​ ​a​=​ ​a

2.​ ​สัติ​าร​สาตร​ ​ถ้า​ ​a​=​ ​b​ ​แล้​ ​b​ ​=​ ​a

2.​ ​สัติ​าร​สาตร​ ​ถ้า​ ​a​=​ ​b​ ​แล้​ ​b​ ​=​ ​a

3.​ ​สัติ​าร​ถ่าท​ ​ถ้า​ ​a​ ​=​ ​b​ ​และ​ ​b​ ​=​ ​c​แล้​ ​a​ ​=​ ​c

3.​ ​สัติ​าร​ถ่าท​ ​ถ้า​ ​a​ ​=​ ​b​ ​และ​ ​b​ ​=​ ​c​แล้​ ​a​ ​=​ ​c

4.​ ​สัติ​าร​้​จำ​ที่​เท่าั​ ​ถ้า​ ​a​ ​=​ ​b​ ​แล้​ ​a​ ​+​ ​c​=​ ​b​ ​+​ ​c

4.​ ​สัติ​าร​้​จำ​ที่​เท่าั​ ​ถ้า​ ​a​ ​=​ ​b​ ​แล้​ ​a​ ​+​ ​c​=​ ​b​ ​+​ ​c

5.​ ​สัติ​ารคูณ​้​จำ​ที่​เท่าั​ ​ถ้า​ ​a​ ​=​ ​b​ ​แล้​ ​ac​ ​=​ ​bc

5.​ ​สัติ​ารคูณ​้​จำ​ที่​เท่าั​ ​ถ้า​ ​a​ ​=​ ​b​ ​แล้​ ​ac​ ​=​ ​bc

 

•​ ​สัติ​าร​ใ​ระ​จำจริ

 

 

•​ ​สัติ​าร​ใ​ระ​จำจริ

ำห​ ​a,​ ​b,​ ​c​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ำห​ ​a,​ ​b,​ ​c​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

1.​ ​สัติ​ปิ​าร​ ​a​ ​+​ ​b​ ​เป็​จำจริ

1.​ ​สัติ​ปิ​าร​ ​a​ ​+​ ​b​ ​เป็​จำจริ

2.​ ​สัติ​ารสลั​ที่​ข​าร​ ​a​ ​+​ ​b​ ​=​ ​b​ ​+​ ​c

2.​ ​สัติ​ารสลั​ที่​ข​าร​ ​a​ ​+​ ​b​ ​=​ ​b​ ​+​ ​c

3.​ ​สัติ​าร​เปลี่​ลุ่​าร​ ​a​ ​+​ ​(​ ​b​ ​+​ ​c)​ ​=​ ​(​ ​a​ ​+​ ​b​ ​)​ ​+​ ​c

3.​ ​สัติ​าร​เปลี่​ลุ่​าร​ ​a​ ​+​ ​(​ ​b​ ​+​ ​c)​ ​=​ ​(​ ​a​ ​+​ ​b​ ​)​ ​+​ ​c

4.​ ​เลัษณ์​าร​ ​0​+​ ​a​ ​=​ ​a​ ​=​ ​a​ ​+​ ​0

4.​ ​เลัษณ์​าร​ ​0​+​ ​a​ ​=​ ​a​ ​=​ ​a​ ​+​ ​0

ั่​คื​ ​ใ​ระ​จำจริ​จะ​ี​ ​0​ ​เป็​เลัษณ์​าร

ั่​คื​ ​ใ​ระ​จำจริ​จะ​ี​ ​0​ ​เป็​เลัษณ์​าร

5.​ ​ิ​เร์​สา​ร​​ ​a​+​ ​(​ ​-a​ ​)​ ​=​ ​0​ ​=​ ​(​ ​-a​ ​)​ ​+​ ​a

5.​ ​ิ​เร์​สา​ร​​ ​a​+​ ​(​ ​-a​ ​)​ ​=​ ​0​ ​=​ ​(​ ​-a​ ​)​ ​+​ ​a

ั่​คื​ ​ใ​ระ​จำจริ​ ​จำ​ ​a​ ​จะ​ี​ ​-a​ ​เป็​ิ​เร์ส​ข​าร

ั่​คื​ ​ใ​ระ​จำจริ​ ​จำ​ ​a​ ​จะ​ี​ ​-a​ ​เป็​ิ​เร์ส​ข​าร

 

•​ ​สัติ​ารคูณ​ใ​ระ​จำจริ

 

 

•​ ​สัติ​ารคูณ​ใ​ระ​จำจริ

ำหให้​ ​a,​ ​b,​ ​c,​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ำหให้​ ​a,​ ​b,​ ​c,​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

1.​ ​สัติ​ปิ​ารคูณ​ ​ab​ ​เป็​จำจริ

1.​ ​สัติ​ปิ​ารคูณ​ ​ab​ ​เป็​จำจริ

2.​ ​สัติ​ารสลั​ที่​ข​ารคูณ​ ​ab​ ​=​ ​ba

2.​ ​สัติ​ารสลั​ที่​ข​ารคูณ​ ​ab​ ​=​ ​ba

3.​ ​สัติ​าร​เปลี่​ลุ่​ข​ารคูณ​ ​a​(​bc)​ ​=​ ​(​ab)c

3.​ ​สัติ​าร​เปลี่​ลุ่​ข​ารคูณ​ ​a​(​bc)​ ​=​ ​(​ab)c

4.​ ​เลัษณ์​ารคูณ​ ​1​·​ ​a​ ​=​ ​a​ ​=​ ​a​ ​·​ ​1

4.​ ​เลัษณ์​ารคูณ​ ​1​·​ ​a​ ​=​ ​a​ ​=​ ​a​ ​·​ ​1

ั่​คื​ใ​ระ​จำจริ​ ​ี​ ​1​ ​เป็​เลัษณ์​ารคูณ

ั่​คื​ใ​ระ​จำจริ​ ​ี​ ​1​ ​เป็​เลัษณ์​ารคูณ

5.​ ​ิ​เร์​สาร​คูณ​ ​a​ ​·​ ​a-1​ ​=​ ​1​ ​=​ ​a​ ​·​ ​a-1,​ ​a​ ​≠​ ​0

5.​ ​ิ​เร์​สาร​คูณ​ ​a​ ​·​ ​a-1​ ​=​ ​1​ ​=​ ​a​ ​·​ ​a-1,​ ​a​ ​≠​ ​0

ั่​คื​ ​ใ​ระ​จำจริ​ ​จำจริ​ ​a​ ​จะ​ี​ ​a-1​ ​เป็​ิ​เร์​สาร​คูณ​ ​เ้​ ​0

ั่​คื​ ​ใ​ระ​จำจริ​ ​จำจริ​ ​a​ ​จะ​ี​ ​a-1​ ​เป็​ิ​เร์​สาร​คูณ​ ​เ้​ ​0

6.​ ​สัติ​ารแจแจ

6.​ ​สัติ​ารแจแจ

a​(​ ​b​ ​+​ ​c​ ​)​ ​=​ ​ab​ ​+​ ​ac

a​(​ ​b​ ​+​ ​c​ ​)​ ​=​ ​ab​ ​+​ ​ac

(​ ​b​ ​+​ ​c​ ​)a​ ​=​ ​ba​ ​+​ ​ca

(​ ​b​ ​+​ ​c​ ​)a​ ​=​ ​ba​ ​+​ ​ca

จา​สัติ​ข​ระ​จำจริ​ที่​ไ้​ล่า​ไป​แล้​ ​สาารถ​ำา​พิสูจ์​เป็​ทฤษฎีท​ต่าๆ​ ​ไ้​ัี้

จา​สัติ​ข​ระ​จำจริ​ที่​ไ้​ล่า​ไป​แล้​ ​สาารถ​ำา​พิสูจ์​เป็​ทฤษฎีท​ต่าๆ​ ​ไ้​ัี้

 

ทฤษฎีท​ที่​ ​1​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ฎ​าร​ตั​สำหรั​าร

ทฤษฎีท​ที่​ ​1

ฎ​าร​ตั​สำหรั​าร

เื่​ ​a,​ ​b,​ ​c​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

เื่​ ​a,​ ​b,​ ​c​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ถ้า​ ​a​ ​+​ ​c​ ​=​ ​b​+​ ​c​ ​แล้​ ​a​ ​=​ ​b

ถ้า​ ​a​ ​+​ ​c​ ​=​ ​b​+​ ​c​ ​แล้​ ​a​ ​=​ ​b

ถ้า​ ​a​ ​+​ ​b​ ​=​ ​a​ ​+​ ​c​แล้​ ​b​ ​=​ ​c

ถ้า​ ​a​ ​+​ ​b​ ​=​ ​a​ ​+​ ​c​แล้​ ​b​ ​=​ ​c

 

ทฤษฎีท​ที่​ ​2​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ฎ​าร​ตั​สำหรั​ารคูณ

ทฤษฎีท​ที่​ ​2

ฎ​าร​ตั​สำหรั​ารคูณ

เื่​ ​a,​ ​b,​ ​c​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

เื่​ ​a,​ ​b,​ ​c​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ถ้า​ ​ac​ ​=​ ​bc​ ​และ​ ​c​ ​≠​ ​0​ ​แล้​ ​a​ ​=​ ​b

ถ้า​ ​ac​ ​=​ ​bc​ ​และ​ ​c​ ​≠​ ​0​ ​แล้​ ​a​ ​=​ ​b

ถ้า​ ​ab​ ​=​ ​ac​ ​และ​ ​a​ ​≠​ ​0​ ​แล้​ ​b​ ​=​ ​c

ถ้า​ ​ab​ ​=​ ​ac​ ​และ​ ​a​ ​≠​ ​0​ ​แล้​ ​b​ ​=​ ​c

 

ทฤษฎีท​ที่​ ​3​ ​ ​ ​ ​ ​ ​เื่​ ​a​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ทฤษฎีท​ที่​ ​3

เื่​ ​a​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

a​ ​·​ ​0​=​ ​0

a​ ​·​ ​0​=​ ​0

0​·​ ​a​ ​=​ ​0

0​·​ ​a​ ​=​ ​0

 

ทฤษฎีท​ที่​ ​4​ ​ ​ ​ ​ ​ ​เื่​ ​a​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ทฤษฎีท​ที่​ ​4

เื่​ ​a​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

(​-1)a​ ​=​ ​-a

(​-1)a​ ​=​ ​-a

a​(​-1)​ ​=​ ​-a

a​(​-1)​ ​=​ ​-a

 

ทฤษฎีท​ที่​ ​5​ ​ ​ ​ ​ ​ ​เื่​ ​a,​ ​b​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ทฤษฎีท​ที่​ ​5

เื่​ ​a,​ ​b​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ถ้า​ ​ab​ ​=​ ​0​แล้​ ​a​ ​=​ ​0​หรื​ ​b​ ​=​ ​0

ถ้า​ ​ab​ ​=​ ​0​แล้​ ​a​ ​=​ ​0​หรื​ ​b​ ​=​ ​0

 

ทฤษฎีท​ที่​ ​6​ ​ ​ ​ ​ ​ ​เื่​ ​a​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ทฤษฎีท​ที่​ ​6

เื่​ ​a​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

a​(​-b)​ ​=​ ​-ab

a​(​-b)​ ​=​ ​-ab

(​-a)b​ ​=​ ​-ab

(​-a)b​ ​=​ ​-ab

(​-a)​(​-b)​ ​=​ ​ab

(​-a)​(​-b)​ ​=​ ​ab

 

เรา​สาารถ​ิา​าร​ล​และ​าร​หาร​จำจริ​ไ้​โ​าศั​สัติ​ข​าร​และ​ารคูณ​ใ​
​ระ​จำจริ​ที่​ไ้​ล่า​ไป​แล้​ข้าต้

เรา​สาารถ​ิา​าร​ล​และ​าร​หาร​จำจริ​ไ้​โ​าศั​สัติ​ข​าร​และ​ารคูณ​ใ​
​ระ​จำจริ​ที่​ไ้​ล่า​ไป​แล้​ข้าต้

 

•​ ​าร​ล​จำจริ

•​ ​าร​ล​จำจริ

 

ทิา​ ​ ​ ​ ​ ​ ​เื่​ ​a,​ ​b​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

ทิา

เื่​ ​a,​ ​b​ ​เป็​จำจริ​ใๆ

a-​ ​b​ ​=​ ​a​ ​+​ ​(​-b)

a-​ ​b​ ​=​ ​a​ ​+​ ​(​-b)

ั่​คื​ ​a​ ​-​ ​b​คื​ ​ผล​ข​ ​a​ ​ั​ิ​เร์​สา​ร​​ข​ ​b

ั่​คื​ ​a​ ​-​ ​b​คื​ ​ผล​ข​ ​a​ ​ั​ิ​เร์​สา​ร​​ข​ ​b

 

•​ ​าร​หาร​จำจริ

•​ ​าร​หาร​จำจริ

 

ทิา​ ​ ​ ​ ​ ​ ​เื่​ ​a,​ ​b​ ​เป็​จำจริ​ใๆ​ ​เื่​ ​b​ ​≠​ ​0

ทิา

เื่​ ​a,​ ​b​ ​เป็​จำจริ​ใๆ​ ​เื่​ ​b​ ​≠​ ​0

=​ ​a​(​b-1)

=​ ​a​(​b-1)

=​ ​a​(​b-1)

ั่​คื

คื​ ​ผลคูณ​ข​ ​a​ ​ั​ิ​เร์​สาร​คูณ​ข​ ​b

ั่​คื

คื​ ​ผลคูณ​ข​ ​a​ ​ั​ิ​เร์​สาร​คูณ​ข​ ​b

ั่​คื

คื​ ​ผลคูณ​ข​ ​a​ ​ั​ิ​เร์​สาร​คูณ​ข​ ​b

 

 

 

ที่า​ข้ูล​จา​ ​http://vichakarn.triamudom.ac.th/comtech/studentproject/final54/824/Infinite​%​20Stratos/MATH/Real.html

และ​ ​https://waranyaphon.wordpress.com/​%​E0​%​B8​%​9B​%​E0​%​B8​%​A3​%​E0​%​B8​%​B0​%​E0​%​B8​%​A7​%​E0​%​B8​%​B1​%​E0​%​B8​%​95​%​E0​%​B8​%​B4​%​E0​%​B8​%​82​%​E0​%​B8​%​AD​%​E0​%​B8​%​87​%​E0​%​B8​%​88​%​E0​%​B8​%​B3​%​E0​%​B8​%​99​%​E0​%​B8​%​A7​%​E0​%​B8​%​99​%​E0​%​B8​%​88​%​E0​%​B8​%​A3​%​E0​%​B8​%​B4​%​E0​%​B8​%​87/